高考數學知識點：集合常考知識點
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●難點磁場
(★★★★★)已知集合A={(x,y)|x2+mx-y+2=0},B={(x,y)|x-y+1=0,且0≤x≤2},如果A∩B≠,求實數m的取值范圍.
●案例探究
[例1]設A={(x,y)|y2-x-1=0},B={(x,y)|4x2+2x-2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在k、b∈N,使得(A∪B)∩C=，證明此結論.
命題意圖：本題主要考查考生對集合及其符號的分析轉化能力，即能從集合符號上分辨出所考查的知識點，進而解決問題.屬★★★★★級題目.
知識依托：解決此題的閃光點是將條件(A∪B)∩C=轉化為A∩C=且B∩C=，這樣難度就降低了.
錯解分析：此題難點在于考生對符號的不理解，對題目所給出的條件不能認清其實質內涵，因而可能感覺無從下手.
技巧與方法：由集合A與集合B中的方程聯立構成方程組，用判別式對根的情況進行限制，可得到b、k的范圍，又因b、k∈N,進而可得值.
解：∵(A∪B)∩C=，∴A∩C=且B∩C=
∵∴k2x2+(2bk-1)x+b2-1=0
∵A∩C=
∴Δ1=(2bk-1)2-4k2(b2-1)<0
∴4k2-4bk+1<0,此不等式有解，其充要條件是16b2-16>0,即b2>1①
∵
∴4x2+(2-2k)x+(5+2b)=0
∵B∩C=,∴Δ2=(1-k)2-4(5-2b)<0
∴k2-2k+8b-19<0,從而8b<20,即b<2.5②
由①②及b∈N,得b=2代入由Δ1<0和Δ2<0組成的不等式組，得
∴k=1,故存在自然數k=1,b=2,使得(A∪B)∩C=.
[例2]向50名學生調查對A、B兩事件的態度，有如下結果：贊成A的人數是全體的五分之三，其余的不贊成，贊成B的比贊成A的多3人，其余的不贊成;另外，對A、B都不贊成的學生數比對A、B都贊成的學生數的三分之一多1人.問對A、B都贊成的學生和都不贊成的學生各有多少人?
命題意圖：在集合問題中，有一些常用的方法如數軸法取交并集，韋恩圖法等，需要考生切實掌握.本題主要強化學生的這種能力.屬★★★★級題目.
知識依托：解答本題的閃光點是考生能由題目中的條件，想到用韋恩圖直觀地表示出來.
(責任編輯：郭峰)
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