第一章 函數與極限

　　1、函數的有界性在定義域內有f(x)≥K1則函數f(x)在定義域上有下界，K1為下界；如果有f(x)≤K2，則有上界，K2稱為上界。函數f(x)在定義域內有界的充分必要條件是在定義域內既有上界又有下界。

　　2、數列的極限定理(極限的唯一性)數列{xn}不能同時收斂于兩個不同的極限。

　　定理(收斂數列的有界性)如果數列{xn}收斂，那么數列{xn}一定有界。

　　如果數列{xn}無界，那么數列{xn}一定發散；但如果數列{xn}有界，卻不能斷定數列{xn}一定收斂，例如數列1，-1，1，-1，(-1)n+1…該數列有界但是發散，所以數列有界是數列收斂的必要條件而不是充分條件。

　　定理(收斂數列與其子數列的關系)如果數列{xn}收斂于a，那么它的任一子數列也收斂于a.如果數列{xn}有兩個子數列收斂于不同的極限，那么數列{xn}是發散的，如數列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子數列{x2k-1}收斂于1，{xnk}收斂于-1，{xn}卻是發散的；同時一個發散的數列的子數列也有可能是收斂的。

　　3、函數的極限函數極限的定義中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0時f(x)有沒有極限與f(x)在點x0有沒有定義無關。

　　定理(極限的局部保號性)如果lim(x→x0)時f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在著點那么x0的某一去心鄰域，當x在該鄰域內時就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。

　　函數f(x)當x→x0時極限存在的充分必要條件是左極限右極限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等則limf(x)不存在。

　　一般的說，如果lim(x→∞)f(x)=c，則直線y=c是函數y=f(x)的圖形水平漸近線。如果lim(x→x0)f(x)=∞，則直線x=x0是函數y=f(x)圖形的鉛直漸近線。

　　4、極限運算法則定理有限個無窮小之和也是無窮小；有界函數與無窮小的乘積是無窮小；常數與無窮小的乘積是無窮小；有限個無窮小的乘積也是無窮小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.

　　5、極限存在準則兩個重要極限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夾逼準則如果數列{xn}、{yn}、{zn}滿足下列條件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，對于函數該準則也成立。

　　單調有界數列必有極限。

　　6、函數的連續性設函數y=f(x)在點x0的某一鄰域內有定義，如果函數f(x)當x→x0時的極限存在，且等于它在點x0處的函數值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就稱函數f(x)在點x0處連續。

　　不連續情形：1、在點x=x0沒有定義；2、雖在x=x0有定義但lim(x→x0)f(x)不存在；3、雖在x=x0有定義且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)時則稱函數在x0處不連續或間斷。

　　如果x0是函數f(x)的間斷點，但左極限及右極限都存在，則稱x0為函數f(x)的第一類間斷點(左右極限相等者稱可去間斷點，不相等者稱為跳躍間斷點)。非第一類間斷點的任何間斷點都稱為第二類間斷點(無窮間斷點和震蕩間斷點)。

　　定理有限個在某點連續的函數的和、積、商(分母不為0)是個在該點連續的函數。

　　定理如果函數f(x)在區間Ix上單調增加或減少且連續，那么它的反函數x=f(y)在對應的區間Iy={y|y=f(x)，x∈Ix}上單調增加或減少且連續。反三角函數在他們的定義域內都是連續的。

　　定理(比較大值比較小值定理)在閉區間上連續的函數在該區間上一定有比較大值和比較小值。如果函數在開區間內連續或函數在閉區間上有間斷點，那么函數在該區間上就不一定有比較大值和比較小值。

　　定理(有界性定理)在閉區間上連續的函數一定在該區間上有界，即m≤f(x)≤M.定理(零點定理)設函數f(x)在閉區間[a，b]上連續，且f(a)與f(b)異號(即f(a)×f(b)<0)，那么在開區間(a，b)內至少有函數f(x)的一個零點，即至少有一點ξ(a<ξ<b）。

　　推論在閉區間上連續的函數必取得介于比較大值M與比較小值m之間的任何值。

　　第二章 導數與微分

　　1、導數存在的充分必要條件函數f(x)在點x0處可導的充分必要條件是在點x0處的左極限lim(h→-0)[f(x0+h)-f(x0)]/h及右極限lim(h→+0)[f(x0+h)-f(x0)]/h都存在且相等，即左導數f-′(x0)右導數f+′(x0)存在相等。

　　2、函數f(x)在點x0處可導=>函數在該點處連續；函數f(x)在點x0處連續≠>在該點可導。即函數在某點連續是函數在該點可導的必要條件而不是充分條件。

　　3、原函數可導則反函數也可導，且反函數的導數是原函數導數的倒數。

　　4、函數f(x)在點x0處可微=>函數在該點處可導；函數f(x)在點x0處可微的充分必要條件是函數在該點處可導。

　　第三章 中值定理與導數的應用

　　1、定理(羅爾定理)如果函數f(x)在閉區間[a，b]上連續，在開區間(a，b)內可導，且在區間端點的函數值相等，即f(a)=f(b)，那么在開區間(a，b)內至少有一點ξ(a<ξ<b），使的函數f（x）在該點的導數等于零：f'（ξ）= 0.

　　2、定理(拉格朗日中值定理)如果函數f(x)在閉區間[a，b]上連續，在開區間(a，b)內可導，那么在開區間(a，b)內至少有一點ξ(a<ξ<b），使的等式f（b）-f（a）= f'（ξ）（b-a）成立即f'（ξ）= [f（b）-f（a）]/（b-a）。

　　3、定理(柯西中值定理)如果函數f(x)及F(x)在閉區間[a，b]上連續，在開區間(a，b)內可導，且F'(x)在(a，b)內的每一點處均不為零，那么在開區間(a，b)內至少有一點ξ，使的等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)成立。

　　4、洛必達法則應用條件只能用與未定型諸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞ 0等形式。

　　5、函數單調性的判定法設函數f(x)在閉區間[a，b]上連續，在開區間(a，b)內可導，那么：(1)如果在(a，b)內f'(x)>0，那么函數f(x)在[a，b]上單調增加；(2)如果在(a，b)內f’(x)<0，那么函數f(x)在[a，b]上單調減少。

　　如果函數在定義區間上連續，除去有限個導數不存在的點外導數存在且連續，那么只要用方程f'(x)=0的根及f’(x)不存在的點來劃分函數f(x)的定義區間，就能保證f'(x)在各個部分區間內保持固定符號，因而函數f(x)在每個部分區間上單調。

　　6、函數的極值如果函數f(x)在區間(a，b)內有定義，x0是(a，b)內的一個點，如果存在著點x0的一個去心鄰域，對于這去心鄰域內的任何點x，f(x)f(x0)均成立，就稱f(x0)是函數f(x)的一個極小值。

　　在函數取得極值處，曲線上的切線是水平的，但曲線上有水平曲線的地方，函數不一定取得極值，即可導函數的極值點必定是它的駐點(導數為0的點)，但函數的駐點卻不一定是極值點。

　　定理(函數取得極值的必要條件)設函數f(x)在x0處可導，且在x0處取得極值，那么函數在x0的導數為零，即f'(x0)=0.定理(函數取得極值的第一種充分條件)設函數f(x)在x0一個鄰域內可導，且f’(x0)=0，那么：(1)如果當x取x0左側臨近的值時，f'(x)恒為正；當x去x0右側臨近的值時，f’(x)恒為負，那么函數f(x)在x0處取得極大值；(2)如果當x取x0左側臨近的值時，f'(x)恒為負；當x去x0右側臨近的值時，f’(x)恒為正，那么函數f(x)在x0處取得極小值；(3)如果當x取x0左右兩側臨近的值時，f'(x)恒為正或恒為負，那么函數f(x)在x0處沒有極值。

　　定理(函數取得極值的第二種充分條件)設函數f(x)在x0處具有二階導數且f'(x0)=0，f''(x0)≠0那么：(1)當f''(x0)<0時，函數f(x)在x0處取得極大值；(2)當f''(x0)>0時，函數f(x)在x0處取得極小值；駐點有可能是極值點，不是駐點也有可能是極值點。

　　7、函數的凹凸性及其判定設f(x)在區間Ix上連續，如果對任意兩點x1，x2恒有f[(x1+x2)/2]<[f(x1)+f(x1)]/2，那么稱f(x)在區間Ix上圖形是凹的；如果恒有f[(x1+x2)/2]>[f(x1)+f(x1)]/2，那么稱f(x)在區間Ix上圖形是凸的。

　　定理設函數f(x)在閉區間[a，b]上連續，在開區間(a，b)內具有一階和二階導數，那么(1)若在(a，b)內f'’(x)>0，則f(x)在閉區間[a，b]上的圖形是凹的；(2)若在(a，b)內f'’(x)<0，則f(x)在閉區間[a，b]上的圖形是凸的。

　　判斷曲線拐點(凹凸分界點)的步驟(1)求出f'’(x)；(2)令f'’(x)=0，解出這方程在區間(a，b)內的實根；(3)對于(2)中解出的每一個實根x0，檢查f'’(x)在x0左右兩側鄰近的符號，如果f'’(x)在x0左右兩側鄰近分別保持一定的符號，那么當兩側的符號相反時，點(x0，f(x0))是拐點，當兩側的符號相同時，點(x0，f(x0))不是拐點。

　　在做函數圖形的時候，如果函數有間斷點或導數不存在的點，這些點也要作為分點。

　　第四章 不定積分

　　1、原函數存在定理定理如果函數f(x)在區間I上連續，那么在區間I上存在可導函數F(x)，使對任一x∈I都有F'(x)=f(x)；簡單的說連續函數一定有原函數。

　　分部積分發如果被積函數是冪函數和正余弦或冪函數和指數函數的乘積，就可以考慮用分部積分法，并設冪函數和指數函數為u，這樣用一次分部積分法就可以使冪函數的冪降低一次。如果被積函數是冪函數和對數函數或冪函數和反三角函數的乘積，就可設對數和反三角函數為u.

　　2、對于初等函數來說，在其定義區間上，它的原函數一定存在，但原函數不一定都是初等函數。

　　第五章 定積分

　　1、定積分解決的典型問題(1)曲邊梯形的面積(2)變速直線運動的路程

　　2、函數可積的充分條件定理設f(x)在區間[a，b]上連續，則f(x)在區間[a，b]上可積，即連續=>可積。

　　定理設f(x)在區間[a，b]上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在區間[a，b]上可積。

　　3、定積分的若干重要性質性質如果在區間[a，b]上f(x)≥0則∫abf(x)dx≥0.推論如果在區間[a，b]上f(x)≤g(x)則∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx.推論|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx.性質設M及m分別是函數f(x)在區間[a，b]上的比較大值和比較小值，則m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a)，該性質說明由被積函數在積分區間上的比較大值及比較小值可以估計積分值的大致范圍。

　　性質(定積分中值定理)如果函數f(x)在區間[a，b]上連續，則在積分區間[a，b]上至少存在一個點ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a)。

　　4、關于廣義積分設函數f(x)在區間[a，b]上除點c(a<c<b）外連續，而在點c的鄰域內無界，如果兩個廣義積分∫acf（x）dx與∫cbf（x）dx都收斂，則定義∫abf（x）dx=∫acf（x）dx+∫cbf（x）dx，否則（只要其中一個發散）就稱廣義積分∫abf（x）dx發散。

　　第六章 定積分的應用

　　求平面圖形的面積(曲線圍成的面積)

　　直角坐標系下(含參數與不含參數)

　　極坐標系下(r，θ，x=rcosθ，y=rsinθ)(扇形面積公式S=R2θ/2)

　　旋轉體體積(由連續曲線、直線及坐標軸所圍成的面積繞坐標軸旋轉而成)(且體積V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲線的方程)

　　平行截面面積為已知的立體體積(V=∫abA(x)dx，其中A(x)為截面面積)

　　功、水壓力、引力

　　函數的平均值(平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx)

　　第七章 多元函數微分法及其應用

　　1、多元函數極限存在的條件極限存在是指P(x，y)以任何方式趨于P0(x0，y0)時，函數都無限接近于A，如果P(x，y)以某一特殊方式，例如沿著一條定直線或定曲線趨于P0(x0，y0)時，即使函數無限接近某一確定值，我們還不能由此斷定函數極限存在。反過來，如果當P(x，y)以不同方式趨于P0(x0，y0)時，函數趨于不同的值，那么就可以斷定這函數的極限不存在。例如函數：f(x，y)={0(xy)/(x^2+y^2)x^2+y^2≠0　　　

　　2、多元函數的連續性定義設函數f(x，y)在開區域(或閉區域)D內有定義，P0(x0，y0)是D的內點或邊界點且P0∈D，如果lim(x→x0，y→y0)f(x，y)=f(x0，y0)則稱f(x，y)在點P0(x0，y0)連續。

　　性質(比較大值和比較小值定理)在有界閉區域D上的多元連續函數，在D上一定有比較大值和比較小值。

　　性質(介值定理)在有界閉區域D上的多元連續函數，如果在D上取得兩個不同的函數值，則它在D上取得介于這兩個值之間的任何值至少一次。

　　3、多元函數的連續與可導如果一元函數在某點具有導數，則它在該點必定連續，但對于多元函數來說，即使各偏導數在某點都存在，也不能保證函數在該點連續。這是因為各偏導數存在只能保證點P沿著平行于坐標軸的方向趨于P0時，函數值f(P)趨于f(P0)，但不能保證點P按任何方式趨于P0時，函數值f(P)都趨于f(P0)。

　　4、多元函數可微的必要條件一元函數在某點的導數存在是微分存在的充分必要條件，但多元函數各偏導數存在只是全微分存在的必要條件而不是充分條件，即可微=>可偏導。

　　5、多元函數可微的充分條件定理(充分條件)如果函數z=f(x，y)的偏導數存在且在點(x，y)連續，則函數在該點可微分。

　　6.多元函數極值存在的必要、充分條件定理(必要條件)設函數z=f(x，y)在點(x0，y0)具有偏導數，且在點(x0，y0)處有極值，則它在該點的偏導數必為零。

　　定理(充分條件)設函數z=f(x，y)在點(x0，y0)的某鄰域內連續且有一階及二階連續偏導數，又fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0，令fxx(x0，y0)=0=A，fxy(x0，y0)=B，fyy(x0，y0)=C，則f(x，y)在點(x0，y0)處是否取得極值的條件如下：(1)AC-B2>0時具有極值，且當A<0時有極大值，當A>0時有極小值；(2)AC-B2<0時沒有極值；(3)AC-B2=0時可能有也可能沒有。

　　7、多元函數極值存在的解法(1)解方程組fx(x，y)=0，fy(x，y)=0求的一切實數解，即可求得一切駐點。

　　(2)對于每一個駐點(x0，y0)，求出二階偏導數的值A、B、C.(3)定出AC-B2的符號，按充分條件進行判定f(x0，y0)是否是極大值、極小值。

　　注意：在考慮函數的極值問題時，除了考慮函數的駐點外，如果有偏導數不存在的點，那么對這些點也應當考慮在內。

　　第八章 二重積分

　　1、二重積分的一些應用曲頂柱體的體積曲面的面積(A=∫∫√[1+f2x(x，y)+f2y(x，y)]dσ)

　　平面薄片的質量平面薄片的重心坐標(x=1/A∫∫xdσ，y=1/A∫∫ydσ；其中A=∫∫dσ為閉區域D的面積。

　　平面薄片的轉動慣量(Ix=∫∫y2ρ(x，y)dσ，Iy=∫∫x2ρ(x，y)dσ；其中ρ(x，y)為在點(x，y)處的密度。

　　平面薄片對質點的引力(FxFyFz)

　　2、二重積分存在的條件當f(x，y)在閉區域D上連續時，極限存在，故函數f(x，y)在D上的二重積分必定存在。

　　3、二重積分的一些重要性質性質如果在D上，f(x，y)≤ψ(x，y)，則有不等式∫∫f(x，y)dxdy≤∫∫ψ(x，y)dxdy，特殊地由于-|f(x，y)|≤f(x，y)≤|f(x，y)|又有不等式|∫∫f(x，y)dxdy|≤∫∫|f(x，y)|dxdy.性質設M，m分別是f(x，y)在閉區域D上的比較大值和比較小值，σ是D的面積，則有mσ≤∫∫f(x，y)dσ≤Mσ。

　　性質(二重積分的中值定理)設函數f(x，y)在閉區域D上連續，σ是D的面積，則在D上至少存在一點(ξ，η)使得下式成立：∫∫f(x，y)dσ=f(ξ，η)*σ4、二重積分中標量在直角與極坐標系中的轉換把二重積分從直角坐標系換為極坐標系，只要把被積函數中的x，y分別換成ycosθ、rsinθ，并把直角坐標系中的面積元素dxd.