2014考研數學大綱 線代特征值與二次型解讀分析

    一、矩陣的特征值與特征向量問題

    矩陣的特征值與特征向量這一章節的內容可以歸結為三大問題：

    1.矩陣的特征值與特征向量的概念理解以及計算問題

    這一部分要求會求給定矩陣的特征值與特征向量，常考的題型有數值型矩陣的特征值與特征向量的計算和抽象型矩陣的特征值與特征向量的計算。若給定的矩陣是數值型的矩陣，則一般的方法是通過求矩陣特征方程的根得到該矩陣的特征值，然后再通過求解齊次線性方程組的非零解得到對應特征值的特征向量。若給定的矩陣是抽象型的，則在求特征值與特征向量的時候常用的方法是通過定義，但此時需要考慮的是特征值與特征向量的性質以及應用。

    2.矩陣（方陣）的相似對角化問題

    這里要求掌握一般矩陣相似對角化的條件，會判斷給定的矩陣是否可以相似對角化，另外還要會求矩陣相似對角化的計算問題，會求可逆陣以及對角陣。事實上，矩陣相似對角化之后還有一些應用，主要體現在矩陣行列式的計算或者求矩陣的方冪上，這些應用在歷年真題中都有不同的體現。

    3.實對稱矩陣的正交相似對角化問題

    其實質還是矩陣的相似對角化問題，與2不同的是求得的可逆陣為正交陣。這里要求考生除了掌握實對稱矩陣的正交相似對角化外，還要掌握實對稱矩陣的特征值與特征向量的性質，在考試的時候會經常用到這些考點的。這塊的知識出題比較靈活，可直接出題，即給定一個實對稱矩陣A，讓求正交陣使得該矩陣正交相似于對角陣；也可以根據矩陣A的特征值、特征向量來確定矩陣A中的參數或者確定矩陣A；另外由于實對稱矩陣不同特征值的特征向量是相互正交的，這樣還可以由已知特征值的特征向量確定出對應的特征向量，從而確定出矩陣A.比較重要的是，掌握了實對稱矩陣的正交相似對角化就相當于解決了實二次型的標準化問題。