整數(shù)有多少個(gè)？

    無(wú)窮個(gè)。

    偶數(shù)有多少個(gè)？

    無(wú)窮個(gè)。

    這樣的回答是正確的。如果我問(wèn)你：

    整數(shù)與偶數(shù)，哪一種數(shù)多？

    恐怕不少同學(xué)都會(huì)說(shuō)，當(dāng)然整數(shù)比偶數(shù)多了。進(jìn)一步，恐怕還會(huì)有同學(xué)告訴
我，“偶數(shù)的個(gè)數(shù)等于整數(shù)個(gè)數(shù)的一半”。什么道理呢？那是因?yàn)?ldquo;奇數(shù)與偶數(shù)
合起來(lái)就是整數(shù)。而奇數(shù)與偶數(shù)是相同排列的，所以奇數(shù)與偶數(shù)一樣多，大家都
是整數(shù)的一半。”

    整數(shù)包括偶數(shù)，偶數(shù)是整數(shù)的一部分，全體大于部分，整數(shù)比偶數(shù)多，這不
是顯而易見(jiàn)、再明白不過(guò)的事嗎？

    你認(rèn)為這樣的回答有道理嗎？

    16世紀(jì)意大利著名科學(xué)家伽利略的看法卻與此相反，他曾提出過(guò)一個(gè)著名的
悖論，叫做“伽利略悖論”，悖論的內(nèi)容是：“整數(shù)和偶數(shù)一樣多”。這似乎違
背常識(shí)。

    不過(guò)，伽利略所說(shuō)的，也絕不是沒(méi)有道理。首先，我們論述的對(duì)象都是無(wú)窮
個(gè)，而不是有限個(gè)，對(duì)于有限個(gè)來(lái)說(shuō)，“全體大于部分”無(wú)可爭(zhēng)議。從1 到10的
整數(shù)比從1 到10的偶數(shù)就是多。但是，把這個(gè)用到無(wú)窮上就要重新考慮了。對(duì)于
有限來(lái)說(shuō)，說(shuō)兩堆物體數(shù)量一樣多，只要把各堆物體數(shù)一下，看看兩堆物體的數(shù)
量是否相等就可以。這個(gè)辦法對(duì)“無(wú)窮”來(lái)說(shuō)是不適用的，因?yàn)?ldquo;無(wú)窮”本身就
包括“數(shù)不完”的意思在內(nèi)。看起來(lái)，我們得另想辦法。

    據(jù)說(shuō)，居住在非洲的有些部族，數(shù)數(shù)最多不超過(guò)3 ，但是他們卻知道自己放
牧的牛羊是否有丟失。辦法是，早上開(kāi)圈放羊時(shí)，讓羊一只一只往外出。每出一
只羊，牧羊人就拾一塊小石頭。顯然，羊的個(gè)數(shù)和小石頭的個(gè)數(shù)一樣多。傍晚，
放牧歸來(lái)，每進(jìn)圈一只羊，牧羊人從小石頭堆中仍掉一塊石頭。如果羊全部進(jìn)了
圈，而小石頭一個(gè)沒(méi)剩，說(shuō)明羊一只也沒(méi)丟。非洲牧羊人實(shí)際上采取了“一對(duì)一”

    的辦法，兩堆物體只要能建立起這種一對(duì)一的關(guān)系，就可以說(shuō)明兩堆物體的
數(shù)量一樣多。

    這種辦法同樣可以用在無(wú)窮上，看看要比較的兩部分之間能否建立起這種一
對(duì)一的關(guān)系。伽利略在整數(shù)與偶數(shù)之間建立的對(duì)應(yīng)關(guān)系是：

    0 1 2 3 4 …

    ↓↓↓↓↓

    2 4 6 8 10…

    按這樣的一種關(guān)系，給出一個(gè)整數(shù)，就可以找出一個(gè)偶數(shù)與之對(duì)應(yīng)，給出的
整數(shù)不同，與之相對(duì)應(yīng)的偶數(shù)也不同；反過(guò)來(lái)，對(duì)于每一個(gè)偶數(shù)，都可以找到一
個(gè)自然數(shù)與之對(duì)應(yīng)，偶數(shù)不同，所對(duì)應(yīng)的整數(shù)也不同，由此我們稱整數(shù)與偶數(shù)之
間建立了一對(duì)一的關(guān)系，所以我們說(shuō)：“整數(shù)與偶數(shù)一樣多”是正確的。

    這告訴我們，“無(wú)窮”是不能用“有限”中的法則來(lái)衡量的，許多對(duì)“有限”

    成立的性質(zhì)，對(duì)“無(wú)窮”卻未必成立。